为什么Embedding加上位置编码后不会破坏语义？

1 引言

终于可以说说位置编码了。Tranformer这个结构都说attention很重要，其实另一个非常精彩的设计就是位置编码。现在大多的模型都采用RoPE（Rotary Position Embedding），但这并不意味着最早的正余弦位置编码（有时候也被称为绝对位置编码）就没得可讲了。

所以这次要从当初非常困扰我的一个问题开始说，《为什么词嵌入可以和位置编码相加》，解决这个问题是我在我学习了很多其他的部分之后，才终于逻辑闭环的。所以现在Transformer的原理系列的最后一个模块，位置编码可以开始讲了。

一个非常朴素的直觉是：

词嵌入是语义，位置编码是词的位置。这两者本身是不同的量纲，就跟身高和体重一样，他们之间有关系，而且我们可以找到他们之间的关系，比如BMI，但是直接把身高（cm）和体重（kg）加起来，就很奇怪了。

所以在回答这个问题之前，我们必须先看看‘位置’这个信息是如何被编码的。

我们要找一个位置信息，要保证两个点

位置唯一，这样不会混淆
不能过大，不然位置的数值会把词嵌入的信息给淹没或者毫无贡献

2 正余弦编码

2.1 公式

\begin{aligned} P E_{(p o s, 2 i)} & = \sin (\frac{p o s}{10000^{2 i / d_{model}}}) \\ P E_{(p o s, 2 i + 1)} & = \cos (\frac{p o s}{10000^{2 i / d_{model}}}) \end{aligned}

pos: 词的绝对位置，表示第几个词。
i: 代表编码向量的维度索引。这意味着一个位置编码向量 PE 的不同维度上，应用着不同的计算方式。范围是 $d_{m o d e l} / 2$ 到 0之间。
d_model: 词嵌入的维度，例如512维。

这个公式的意思可以概括为：用两个有界的函数，通过控制token在不同维度的波长，从而实现高中低维度的数值变化快慢，进而实现向量的不同维度上编码从细到粗粒度的位置信息，共同构成完整的位置表示

3 正余弦编码的特性

3.1 有界性

如果我们直接0,1,2,3,...这样持续的表示位置，很快就会出现位置的值和向量的值差距过大而失去信息。所以我们的位置必须有边界，但是又能同时表示足够的长度。

正弦和余弦函数的值域永远被限制在 [-1, 1] 之间。这就保证了位置编码永远不会因为数值过大而‘淹没’语义信息。它从数学上保证了‘位置’这个信息的‘体重’不会无限增长。

3.2 唯一性和周期性

唯一性很好理解，就是位置不能重复。那我们来进行一个简单的推导看看这个正余弦编码是怎么想出来的。

3.2.1 第一阶段：直接用位置作为正余弦的变量

首先就从一个简单的例子开始，已经知道要用有界的正余弦函数了。所以我们就先尝试一个简单的例子

P E_{t e s t 1} (p o s) = s i n (p o s)

根据我们熟悉的~~忘光了的~~ 小学还是初中的知识，sin和cos经过 $2 π$ 就会重复，也就是说。sin(2) = sin(2+2π)，也就是说每增加6.28左右的位置，我们就当做6好了，数值就很接近。这下机器也迷糊了。

sin计算

由于我们直接把pos作为参数，所以即使，我们放到高维空间去，比如

P E_{t e s t 2} (p o s) = [s i n (x), s i n (x), s i n (x), . . .]

也是没有用的，单纯的重复sin并不能解决周期性问题。

那如果我给他增加一个权重呢？

3.2.2 第二阶段：增加权重改变频率

如果我给高纬度的向量增加不同的权重来改变周期，现在问题就是，w要怎么确定，由于单调的扩大数值，其实是无法解决周期性的。所以我们可以通过降低这个w，来扩大重复的周期。

P E_{t e s t 3} (p o s) = [\begin{matrix} \sin (p o s / ω_{1}) \\ \sin (p o s / ω_{2}) \\ \sin (p o s / ω_{3}) \\ ⋮ \end{matrix}] = P E (p o s) = [\begin{matrix} \sin (p o s) \\ \sin (p o s / 10) \\ \sin (p o s / 100) \\ ⋮ \end{matrix}]

所以回到我们的例子： pos=2 和 pos=8。在单一高频维度下，这两个位置的值会非常接近。但是现在，我们再高维空间下，改变了频次，看图来说就是这样：

不同频率sin曲线

对于位置 pos=2:
- 第一维（高频）: sin(2) ≈ 0.909
- 第二维（中频）: sin(2/10) = sin(0.2) ≈ 0.199
- 第三维（低频）: sin(2/100) = sin(0.02) ≈ 0.020
- 因此，PE(2) ≈ [0.909, 0.199, 0.020]
对于位置 pos=8:
- 第一维（高频）: sin(8) ≈ 0.989
- 第二维（中频）: sin(8/10) = sin(0.8) ≈ 0.717
- 第三维（低频）: sin(8/100) = sin(0.08) ≈ 0.080
- 因此，PE(8) ≈ [0.989, 0.717, 0.080]

所以即使2和8的sin值很接近，因为我们的不同频次的缩放，其他维度的值已经有了明显区别，这下，两个向量已经足够区分了。当我们把维度拉长，只会更明显。

但是还有两个问题：

QUESTION

如何更好的设置这个缩放的w
sin就够了，为什么transformer中还要sin和cos一起用？

3.2.3 第三阶段: 几何级数

先回答第一个问题，我们肯定不能无休止的1/10、1/100、1/1000这样的递推下去。这样后面的值都是极小的，导致维度高时，缩放太快。那么如何平滑的过度呢。Transformer给出的答案时：

w_{i} = \frac{1}{10000^{2 i / d_{model}}}

这个公式的精妙之处在于：

当 i=0 时（前两个维度），分母为 10000^0 = 1，频率最高，波长为 2π。
当 i 接近 d_model/2 - 1 时（最后两个维度），2i/d_model 接近 1，分母接近 10000，频率最低，波长为 10000 * 2π。

频率在对数空间中是线性变化的，这种平滑的过渡被认为有助于模型泛化到比训练时遇到的序列更长的情况。额外提一下，这个10000，是个经验性的选择。

3.3 相对位置的表示能力

现在回答第二个问题：为什么需要cos，这涉及到这个公式的另一个特性，就是相对位置的表示能力。

虽然有时候大家叫他绝对位置编码，但是实际上，它是可以找到相对位置关系的。之前的图中我们就知道sin和cos它不是一个线性关系。但是对于我们给定的pos，我们都统通过线性变换去转换。接下来我们先做一下简单的数学公式变换，来方便我们解读它的现实意义。

首先，我们把位置函数的公式中的1/10000^(2i/d_model)看作是 $w_{i}$ ，这样原始的公式就可以转换为

\begin{aligned} P E_{(p o s, 2 i)} & = \sin (\frac{p o s}{10000^{2 i / d_{model}}}) = s i n (p o s \cdot w_{i}) \\ P E_{(p o s, 2 i + 1)} & = \cos (\frac{p o s}{10000^{2 i / d_{model}}}) = c o s (p o s \cdot w_{i}) \end{aligned}

现在，我们知道已经有PE(pos)然后要找PE(pos+k)，那么通过三角恒等式，我们可以得到

\begin{aligned} P E_{(p o s + k, 2 i)} & = \sin (ω_{i} (p o s + k)) = \sin (ω_{i} p o s) \cos (ω_{i} k) + \cos (ω_{i} p o s) \sin (ω_{i} k) \\ P E_{(p o s + k, 2 i + 1)} & = \cos (ω_{i} (p o s + k)) = \cos (ω_{i} p o s) \cos (ω_{i} k) - \sin (ω_{i} p o s) \sin (ω_{i} k) \end{aligned}

又因为 $\sin (ω_{i} p o s)$ 和 $\cos (ω_{i} p o s)$ 可以转回为 $P E_{(p o s, 2 i)}$ 和 $P E_{(p o s, 2 i + 1)}$ ，公式就变成了

\begin{aligned} P E_{(p o s + k, 2 i)} & = P E_{(p o s, 2 i)} \cdot \cos (ω_{i} k) + P E_{(p o s, 2 i + 1)} \cdot \sin (ω_{i} k) \\ P E_{(p o s + k, 2 i + 1)} & = P E_{(p o s, 2 i + 1)} \cdot \cos (ω_{i} k) - P E_{(p o s, 2 i)} \cdot \sin (ω_{i} k) \end{aligned}

这里就是小学知识了。我们先把2i+1的位置交换变成

\begin{aligned} P E_{(p o s + k, 2 i)} & = P E_{(p o s, 2 i)} \cdot \cos (ω_{i} k) + P E_{(p o s, 2 i + 1)} \cdot \sin (ω_{i} k) \\ P E_{(p o s + k, 2 i + 1)} & = P E_{(p o s, 2 i)} \cdot - \sin (ω_{i} k) + P E_{(p o s, 2 i + 1)} \cdot \cos (ω_{i} k) \end{aligned}

这里PE就能提出去，变成了矩阵。

(\begin{matrix} P E_{p o s + k, 2 i} \\ P E_{p o s + k, 2 i + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos (k ω_{i}) & \sin (k ω_{i}) \\ - \sin (k ω_{i}) & \cos (k ω_{i}) \end{matrix}) (\begin{matrix} P E_{p o s, 2 i} \\ P E_{p o s, 2 i + 1} \end{matrix})

这个公式什么意思呢，因为PE已经被提取出来了，公式中的正与弦函数的矩阵是独立的，就是说，从一个位置到另一个相对偏移为k的位置，其位置编码向量的变化规律是固定的，与初始绝对位置pos无关。

更进一步说，模型已经不需要学习绝对位置pos和pos+k的复杂映射，而只需学习一个统一的、线性的变换规则来识别“相距k个单位”这一相对概念。

这里就回答了我们这一小节开始的问题：

“为什么不能只用sin或者cos”

如果我们只用其中一个，sin(pos)或者cos(pos)就不能被转为PE，从而无法进行公式转换。这个相对位置关系的提取就更无从说起。

问题是，位置编码的编码方式我理解了，但是依然解释不了将它与语义相加，为什么不会在‘语义的方向’上产生干扰。

4 高维空间和向量特性

从一个简单的例子来看，如果我们有一个数，100。单纯给我100，我是无法知道这个100是从何而来的，就算我知道他只会是2个数相加，那我也无法区分是哪两个数。这两个数可以是1和99，也可以是50和50。这种我们称为标量，是无法严格区分开来的。

但是我们是在高维空间下，每一个token的含义都被分解为了512（或者更高）维度下的向量。向量是有方向的，也就说我们可以分解回去。什么意思呢。比如我有向量[4,3]，4表示的是语义，它原始的向量应该是[4,0]，3表示的是位置那就是[0,3]，这样我们拿到[3,4]的时候，可以轻易的分离语义和位置信息。

也就是说：高维空间提供了信息分离的基础

向量的信息可分离

这可以说的通了。但是这里有两个前提。

位置信息有自己的空间
位置信息所在的空间和语义空间是近似正交的。

怎么去理解这两个点呢？

这就不得不提到之前说过的“语义流形”。《流形视角下的Embedding：从理论到RAG实践》中，我们说过，语义不是均匀分布在欧式空间中的。也就是说即使我们有一个token叫“人工智能”，它被分解为一个512维度的向量。这个512个维度上的值，也不是均匀分布的。一定有一部分是语义的富集，一些值的语义是稀疏的。这就给了我们的位置信息嵌入到这些为止的可能。

正交就更好理解了。我们能分离语义的前提是，语义和位置的向量应该在不同的方向上的。也就是他们之间本身是互不干扰的。这很好理解，本来就是两个不同的东西。我们唯一需要确认的就是他们是不是近似正交。

凭什么位置和语义的空间是近似正交的？

训练初期，他们确实不是近似正交的。词嵌入和位置编码在训练阶段初期，必然是会出现混淆，也破坏了语义训练初期，他们确实不是近似正交的。词嵌入和位置编码在训练阶段初期，必然是会出现混淆的，也破坏了语义。训练初期，他们确实不是近似正交的。词嵌入和位置编码在训练阶段初期，必然是会出现混淆的，也破坏了语义。

我们是通过损失函数和反向传播，不断的去迫使模型把位置的信息放到语义稀疏的维度上。迫使模型逐渐学会分离信息。

但是注意，在训练后的，模型会逐步学会分离两者的关系，在高维空间中形成正交。所以正交性是通过训练实现的。

我们直接看一个辅助性的结论。

4.1 在BERT上测试语义和位置的夹角

上面说的都是理论，如果说的成立，那么我们应该是可以去计算这个结果的。在bert里试一下。

python

import torch
from transformers import BertModel
from sklearn.metrics.pairwise import cosine_similarity

# 1. 加载模型并提取嵌入向量
model = BertModel.from_pretrained('bert-base-uncased')
word_embeddings = model.embeddings.word_embeddings.weight.data.cpu().numpy()
pos_embeddings = model.embeddings.position_embeddings.weight.data.cpu().numpy()

# 2. 选取部分词向量用于计算
sampled_word_embeddings = word_embeddings[100:1100, :]

# 3. 计算余弦相似度
similarity_matrix = cosine_similarity(sampled_word_embeddings, pos_embeddings)

print(f"\n========== 相似度统计 ==========")
print(f"  均值: {np.mean(all_similarities):.6f}")
print(f"  标准差: {np.std(all_similarities):.6f}")
print(f"  绝对值均值: {np.mean(np.abs(all_similarities)):.6f}")

print(f"\n========== 角度统计 ==========")
print(f"  平均夹角: {np.mean(all_angles):.2f}°")
print(f"  夹角标准差: {np.std(all_angles):.2f}°")
print(f"  夹角范围: [{np.min(all_angles):.2f}°, {np.max(all_angles):.2f}°]")

print(f"\n========== 具体示例分析 ==========")
print(f"  第一个词与第一个位置:")
print(f"    - 相似度: {similarity_matrix[0, 0]:.6f}")
print(f"    - 夹角: {angle_matrix[0, 0]:.2f}°")

print(f"\n  第一个词与第二个位置:")
print(f"    - 相似度: -0.074933")
print(f"    - 夹角: {angle_matrix[0, 1]:.2f}°")

word_idx = 10
pos_idx = 5
print(f"\n  词{word_idx}与位置{pos_idx}:")
print(f"    - 相似度: {similarity_matrix[word_idx, pos_idx]:.6f}")
print(f"    - 夹角: {angle_matrix[word_idx, pos_idx]:.2f}°")

word_similarities = similarity_matrix[word_idx, :]
word_angles = angle_matrix[word_idx, :]
print(f"\n  词{word_idx}与所有位置:")
print(f"    - 相似度范围: {word_similarities.min():.6f} ~ {word_similarities.max():.6f}")
print(f"    - 夹角范围: {word_angles.min():.2f}° ~ {word_angles.max():.2f}°")

pos_similarities = similarity_matrix[:, pos_idx]
pos_angles = angle_matrix[:, pos_idx]
print(f"\n  位置{pos_idx}与所有词:")
print(f"    - 相似度范围: {pos_similarities.min():.6f} ~ {pos_similarities.max():.6f}")
print(f"    - 夹角范围: {pos_angles.min():.2f}° ~ {pos_angles.max():.2f}°")

结果如下：

python

========== 相似度统计 ==========
  均值: -0.009876
  标准差: 0.035428
  绝对值均值: 0.028139

========== 角度统计 ==========
  平均夹角: 90.57°
  夹角标准差: 2.03°
  夹角范围: [7.72°, 98.00°]

========== 具体示例分析 ==========
  第一个词与第一个位置:
    - 相似度: 0.018469
    - 夹角: 88.94°

  第一个词与第二个位置:
    - 相似度: -0.074933
    - 夹角: 94.30°

  词10与位置5:
    - 相似度: -0.025367
    - 夹角: 91.45°

  词10与所有位置:
    - 相似度范围: -0.114627 ~ 0.145001
    - 夹角范围: 81.66° ~ 96.58°

  位置5与所有词:
    - 相似度范围: -0.082197 ~ 0.070120
    - 夹角范围: 85.98° ~ 94.71°

很好，可以说随机取一下，他们都是几乎正交的。可以说实践和理论对上了。

到这，其实我觉得已经足够了。但是著名的自然选择号舰长-章北海他爹说过一句话”要多想“，所以我们多说两句。

5 Attention和FFN视角下的可解释性

仅仅证明输入端可以相加并且理论上可分是不够的。Transformer的核心是自注意力（Self-Attention）和前馈网络（Feed-Forward Network, FFN）。我们需要理解这两个模块是如何与这些“混合向量”协同工作的。

5.1 Position-wise FFN：位置无关的前馈神经网络

首先看FFN，它的全称是 Position-wise Feed-Forward Network。这里的“Position-wise”是一个关键线索。它意味着同一个FFN（即同一组权重W1, b1, W2, b2）被独立地应用到序列中每一个位置（Position）的向量上。

这说明什么？FFN本身是一个“位置盲”的模块。它不知道自己正在处理的是第3个词的向量还是第30个词的向量。它所做的，只是对输入的单个向量进行一次复杂的非线性变换。

这就带来了一个重要的推论：如果模型需要区分不同位置的词，那么这种区分能力必须来自于输入给FFN的向量本身。因为FFN对所有位置一视同仁，所以向量 H_pos = E_token + P_pos 必须在变换后依然保留着可以区分的语义和位置信息。这从侧面印证了，模型必须在向量内部维持这种信息的正交性或可分离性，否则经过FFN这个“盲处理”后，信息就会彻底混淆。

5.2 Attention 机制：理论上的信息分离能力

之前也写过多头注意力，我们知道多头注意力可以学到不同的内容。那么是否存在一个或者多个头是对位置关系侧重的呢？

针对多头注意力的研究中，论文《Analyzing Multi-Head Self-Attention: Specialized Heads Do the Heavy Lifting》是通过”剪枝“来分析哪些头重要，其中明确功能的就包括：“位置头”。（其他关键头还有句法头和罕见词头）。

虽然许多头表现出明显的专业化倾向，但它们的功能并非绝对单一。一个头可能主要关注位置，但同时也编码了部分语义或句法信息。专业化是一种显著趋势。也就说一个头虽然被称为”位置头“但是依然可能有语法或者句法的部分信息在里面。

Analyzing Multi-Head Self-Attention: Specialized Heads Do the Heavy Lifting, the Rest Can Be Pruned

当然除了这一个佐证以外，我们还能从数学公式上去进一步论证。

Attention机制是信息交互的核心。一个词的最终表示，是序列中所有其他词表示的加权和。这里的权重，即注意力分数在公式上的表现是这样的：

\begin{aligned} MultiHead (Q, K, V) & = Concat ({head}_{1}, \dots, {head}_{h}) W^{O} & (1) 合并多头并线性变换 \\ where {head}_{i} & = Attention (Q W_{i}^{Q}, K W_{i}^{K}, V W_{i}^{V}) & (2) 计算第 i 个注意力头 \\ Attention (Q^{'}, K^{'}, V^{'}) & = softmax (\frac{Q^{'} (K^{'})^{T}}{\sqrt{d_{k}}}) V^{'} & (3) 缩放点积注意力 \end{aligned}

现在，聚焦于注意力分数的核心计算，即 Q'K'^T 这一步，来探究一个头（Head）内部是如何区分语义信息和位置信息的。

我们知道，输入给Transformer的词表示 H 是由词嵌入 E 和位置编码 P 相加得到的（H_i = E_i + P_i）。那么，对于某个特定的头（我们省略头的下标 i 以简化表示），其查询向量 Q_i 和键向量 K_j 的计算如下：

让我们展开这个计算过程：

\begin{aligned} Q_{i} & = H_{i} * W^{Q} = (E_{i} + P_{i}) * W^{Q} \\ K_{j} & = H_{j} * W^{K} = (E_{j} + P_{j}) * W^{K} \end{aligned}

那么，Q_i * K_j^T 就可以分解为四个部分的和：

\begin{aligned} Q_{i} K_{j}^{T} = & \underset{语义-语义}{\underset{⏟}{(E_{i} W^{Q}) {(E_{j} W^{K})}^{T}}} + \underset{位置-位置}{\underset{⏟}{(P_{i} W^{Q}) {(P_{j} W^{K})}^{T}}} \\ + \underset{语义-位置}{\underset{⏟}{(E_{i} W^{Q}) {(P_{j} W^{K})}^{T}}} + \underset{位置-语义}{\underset{⏟}{(P_{i} W^{Q}) {(E_{j} W^{K})}^{T}}} \end{aligned} ​

语义-语义： $(E_{i} * W_{Q}) * (E_{j} * W_{K})^{T}$ 。这部分捕捉纯粹的词义相关性。比如，“苹果”这个词对“公司”和“水果”的注意力就源于此。
位置-位置： $(P_{i} * W_{Q}) * (P_{j} * W_{K})^{T}$ 。这部分捕捉纯粹的位置关系。例如，模型可能会学到让一个词更关注它前面或后面的词。正余弦编码的线性特性使得 P_pos+k 可以由 P_pos 线性表示，这让模型可以学习相对位置关系。
语义-位置： $(E_{i} * W_{Q}) * (P_{j} * W_{K})^{T}$ 。这部分捕捉“某个特定词”对“某个特定位置”的偏好。虽然比较少见，但理论上是存在的。
位置-语义： $(P_{i} * W_{Q}) * (E_{j} * W_{K})^{T}$ 。这部分捕捉“某个特定位置”对“某个特定词”的偏好。例如，在某些任务中，句首的词可能更倾向于关注序列中的动词。

所以这也从数学上部分的回答了，Attention的头，到底在学习什么？是不是能够提取位置关系？

有的头可能主要关注“语义-语义”，成为语义专家；有的头可能主要关注“位置-位置”，成为位置专家。

6 结论

到现在，我们可以给出一个结论了，在Transformer架构中，将词嵌入向量与位置编码向量进行逐元素相加是理论上可行的。

核心原因在于高维向量空间的几何特性以及深度学习模型的优化过程。经过训练，模型会学习到将词嵌入所代表的语义信息和位置编码所代表的序列顺序信息，分别映射到高维空间中两个近似正交的子空间内。

这就保证了语义信息和位置信息的可分离。后续的模块中，不论是Attention还是FFN都能正确的提取到给定向量中的语义和位置信息。保证了近乎独立地处理和加权。

7 结语

位置编码其实本来不打算写，网上关于位置编码写的好的文章和视频很多。这块或多或少受过一些文章思路的影响，写了怕过于雷同。直到读到注意力机制头的作用的时候突然回想起这个问题。才有了整体思路。所以当我真正把位置编码和其他模块（embedding的高维空间理解，attention的头学习位置关系，add norm的加上信息，FFN的位置无关等）串起来以后。再次感叹transformer这个模型的厉害。